Latihan Soal

Latihan Soal Termodinamika Matematika

1.                  Tentukan solusi dari persamaan diferensial  cosx dydx+ ysinx= -2 cos3x

Jawab:

cosx dydx+ ysinx= -2 cos3x

cosx dy            =-(2 cos3 x+ysinx) dx

(2 cos3 x+ysinx) dx+ cosx dy =0

v  P= 2 cos3 x+ysinx→Py =sin x

v  Q =cosx → Qx = -sinx            (Non Eksak)

Karena PD tersebut Non Eksak maka kita perlu mencari fungsi μ ,sehingga PD tersebut menjadi eksak  yaitu:

μ(2 cos3 x+ysinx) dx+μ cosx dy=0

Dengan demikian:

dμμ= sin x –(-sin x)cosxdx

dμμ= 2 sin x cosxdx

dμμ= 2 sin x cosxdx

lnμ= -2lncosx

lnμ= ln1 cos2x

μ= 1cos2x= sec2x

Dengan mengalikan  fungsi μ  maka diperoleh persamaan diferensial yang eksak yaitu:

1cos2x(2 cos3 x+ysinx) dx+1cos2x cosx dy=0

(2cosx+ y tanx.secx)dx +secx dy=0

v  P=(2 cosx+y tanx.secx) → Py=(tan x .secx)

v  Q=secx → Qx=(tanx .secx)             (Eksak)

Selesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial eksak:

dfdx= 2cosx+ y tanx.secx

df= 2cosx+ y tanx.secxdx

df=2cosx+ y tanx.secxdx

f= 2sinx+y secx+c(y)

  f'= secx+c'y 

secx+c'y=secx

c'x= 0

cx=c

Jadi solusinya adalah:

F          = 2sinx+y secx+c

            =2sinx+y 1cosx+c

Y         =c cosx- 2sinx.cosx=c cosx-sin2x   

2.                  Tentukan solusi dari persamaan diferensial  cos x dydx+ ysinx=1

Jawab:

cos x dydx+ ysinx=1

-(1-ysinx)dx+cosx dy=0

v  P= -1-y sinx → Py=sinx

v  Q=cosx → Qx= -sinx               ( Non Eksak)

Sama seperti sebelumnya,kita cari faktor pengintegral PD tersebut sehingga menjadi eksak.

-μ(1-ysinx)dx+μcosx dy=0

Dengan demikian:

Dμμ     = 2 sin x cosxdx

Dμμ     = 2 sin x cosxdx

lnμ       = -2lncosx

μ          = 1cos2x= sec2x

Jadi.

-1cos2x(1-ysinx)dx + 1cos2xcosx dy=0

(-1cos2x+ y tanxsecx)dx + 1cosx dy=0

dfdx    = (-1cos2x+ y tanxsecx)

df        = (-1cos2x+ y tanxsecx)dx

df        = (-1cos2x+ y tanxsecx)dx

f           =-tanx+ ysecx+c(y)

f'          =secx+c'(y)

Q         =f'=secx+c'y=secx

c'y=0 → cy=c

Jadi solusinya adalah:

f =ysecx-tanx+c      

3.                  Tentukan solusi dari PD  xdy+2y-xexdx=0

Jawab:

xdy+2y-xexdx=0

v  P=2y-xex→ Py=2

v  Q=x → Qx=1                (Non Eksak)

Sama seperti sebelumnya,kita cari faktor pengintegral PD tersebut sehingga menjadi eksak:

μxdy+μ2y-xexdx=0

Jadi,

dμμ     = 1 xdx → μ=x

Sehingga,

x2dy+x2y-xexdx=0

v  P=2xy- x2ex → Py=2x

v  Q= x2 → Qx=2x                       (Eksak)

dfdx    =2xy - x2ex

df        =(2xy - x2ex)dx

f           = x2y-(x2ex-2xex+2 ex- cy)

f           = x2y-x2ex+2xex-2 ex+ cy

f'          = x2+c'(y)

f'          =Q=x2+c'y= x2

c'y=0 →cy=c

Jadi solusinya adalah:

f = x2y-x2ex+2xex- 2ex+ cy

f= x2y-x2ex+2xex-2ex+ c