latihan soal

Latihan soal Termodinamika Matematika

1.                  Tentukan persamaan berikut eksak atau tidak  dan tentukan solusinya:

            2y dx+xdy=0

Jawab:

2y dx+xdy                              =0

v  P=2y → Py             =2

v  Q=xdy → Qx                      =1

dμμ     = 2- 1xdx → dμμ        = 1xdx

Dari persamaan di atas diperoleh μ     =x

x2ydx+x(x)dy =0

2xydx+x2 dy  =0

Buktikan bahwa:   (μP)y         =(μQ)x

                μP                            =2xy →μPy=2x

 μQ= x2 →(μQ)x        =2x

Terbukti  (μP)y                     = (μQ)x     (Eksak)

Dengan demikian,

dfdx    =2xy

df        =2xy dx

df        =2xy dx

f           =x2y+cy

f'          =x2+c'y

x2+c'y =x2

c'y        =0

cy        =c

Jadi solusinya adalah:

f=x2y+c   

   

2.                  Tentukan solusi dari persamaan berikut dengan faktor pengintegrasi:

    3xy+y2+ x2+ xy dydx =0

Jawab:

3xy+y2+ x2+ xy dydx            =0

3xy+y2+ x2+ xy dydx            =0

v  P      = 3xy + y² → Py         =3x+2y 

v  Q     = x2+ xy → Qx           =2x+y

Karena P_Y ≠ Q_X (non eksak), maka tentukan μ  (x,y).

Sehingga

μ 3xy + y2+ μ x2 + xydy dx =0

Misalkan

μ          = μ x  hanya fungsi dalam x, maka

dμ μ    = Py-QxQ dx

dμ μ    = 3x+2y-(2x+y)x2+ xy dx

dμ μ    = 3x-2y+2y-yx2+ xy dx

dμ μ    = x+yx2+ xy dx

dμ μ    = (x+y)x(x+y) dx

dμ μ    = 1x dx

Dari persamaan di atas diperoleh μ=x

x3xy+ y2 +x(x2+xy)dydx      =0

Buktikan bahwa    (μP)y         =(μQ)x

μP        =3x2y + xy2→μPy     =3x2+ 2xy

                                    μQ       = x3 + x2y→(μQ)x     =3 x2+ 2xy

Terbukti  (μP)y  = (μQ)x     (Eksak)

Dengan demikian,

x3xy+ y2 +x(x2+xy)dydx      =0

3x2y+xy2+ x3+ x2ydydx       = 0

x3+x2 ydydx                          = -3x2y+xy2

x3+x2 ydy                               = -3x2y+xy2dx

3x2y+xy2dx+x3+x2 ydy        = 0

Selesaikan  dengan menggunakan  persamaan diferensial eksak,

 Plih P untuk di integralkan terhadap x

P= 3x2y+xy2dx= x3y+12x2y2+ c(y)

Dimana c(y) adalah suatu konstanta sebarang terhadap variabel x yang dapat tergantung pada variable y(fungsi dari variabel y).

Turunkan  P terhadap  y dan samakan dengan Q

x3+ x2y+ c'(y)= x3+x2 y

c'y=0 →cy= c

Solusinya adalah:

f= x3y+12x2y2+ c    

3.                  Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial: ydx+x2y-xdy=0

Jawab:

Dengan langkah yang sama seperti contoh sebelumya PD ydx+x2y-

Xdy =0  memiliki faktor pengintegrasi μ = 1x2 .

Dengan demikian,

μydx+μx2y-xdy          =0

yx2dx+1x2x2y-xdy =0

Dengan cara yang sama tebukti bahwa (μP)y  = (μQ)x     (Eksak)

Solusi dari persamaan tersebut  adalah:

yx2dx+1x2x2y-xdy=0

yx2dx+(x2yx2-xx2)dy=0

 y - 1xdy = -yx2dx

yx2dx+y - 1xdy= 0

Selesaikan  dengan menggunakan  persamaan diferensial eksak, Plih P untuk di integralkan terhadap x

P =yx2dx = -yx+ c(y)

Dimana c(y) adalah suatu konstanta sebarang terhadap variabel x yang dapat tergantung pada variable y(fungsi dari variabel y).

Turunkan  P terhadap  y dan samakan dengan Q

-1x+c'(y)          =(y-1x)

c'y=y →cy       = 12y2+c

Solusinya adalah:

F =-yx+ cy → f =-yx+y22+c